PIADAS QUASE SANTA!!!!

PIADAS QUASE SANTA!!!!
 

 

Um jovem vai à igreja confessar-se: - Padre, eu passei a mão nos seios da minha namorada. - Foi por cima ou por baixo da blusa dela? - Foi por cima, padre... - Da próxima vez passa por baixo, pois a penitência é a mesma. ____________________________________________________ Um velho acaba de morrer. O padre encomenda a alma e faz rasgados elogios ao defunto: - O finado era um ótimo marido, um excelente cristão, um pai exemplar!!... A viúva vira-se para um dos filhos e diz-lhe ao ouvido: - Vai até o caixão e vê se é mesmo o teu pai que está lá dentro... _________________________________________________ Na hora do almoço, a madre superiora anuncia: - Irmãs, hoje teremos bananas de sobremesa!! - Ehhhhhhhhh!!!! - Vibram as freiras. - Em rodelas!! E as fr eiras, decepcionadas: - OOhhhhhhhhh!!!!.... _________________________________________________ Um paciente está na capital, para um exame periódico de saúde. - Você bebe? - Dois copos de vinho por dia.. - Fuma? - Dez cigarros por dia. - E sexo? - Duas ou três vezes... por mês. - Sóó? Com a sua idade e a sua saúde, era p'ra ser duas ou três vezes por semana. - Sabe como é, doutor? Se eu fosse bispo na capital... até que dava...., mas padre numa diocese pequena, no interior..... _______________________________________________________ A freira vai ao médico: - Doutor, estou com um ataque de soluços horrível. Não consigo comer, nem dormir,... nada. - Tenha calma, irmã, que vou examiná-la.. Ele examina-a e diz: - Irmã, a senhora está grávida! A freira se levanta em pânico e sai correndo do consultório. Uma hora depois o médico recebe um telefonema da madre superiora do convento: - Doutor, o que é disse á irmã Carmen? - Madre superiora, como ela tinha uma forte crise de soluço, passei-lhe um susto dizendo que estava grávida. Ela parou de soluçar? - Sim, a irmã Carmen parou de soluçar, mas o padre Paulo fez as malas e sumiu!!! ____________________________________________________________ - Padre, ontem eu dormi com meu namorado. - Mas isso é pecado, e pecado mortal minha filha. Reze cinco Pai Nosso, de penitência! A jovem fica mais algum tempo ajoelhada, pensa um pouco, e depois pergunta: - Se eu rezar 10 posso dormir com ele hoje de novo? ______________________________ A campainha toca na casa de um tipo muito pão-duro. Quando ele atende, dá de cara com duas freiras pedindo donativos. - Meu filho, nós somos irmãs de Cristo e.... - Nossa!!! Como vocês estão conservadas!!! ________________________ _ ______ Um burro morreu em frente de uma Igreja e, como uma semana depois o corpo ainda estava lá, o padre resolveu reclamar ao Presidente da Junta. - Presidente, está um burro morto à frente da Igreja há quase uma semana! E o Presidente, grande adversário político do padre, alfinetou: - Mas Padre, não é o senhor que tem a obrigação de cuidar dos mortos? - Sim, sou eu! Mas também é minha obrigação avisar os familiares! ______________________________ A meio da noite, o padre passa perto de um cemitério e leva o maior susto quando escuta: - Hum, hum, hum! O padre pára, reza um pai-nosso, faz o sinal da cruz, enche-se de coragem e pergunta: - Do que é que essa pobre alma está precisando? - De papel higiénico!!

AULA 17, 18, 19 E 20 - PORTFÓLIO CALCULO 1 SEMANA 05

Problemas e Exercícios da Semana 5

Samuel Rocha Oliveira e Adolfo Maia Jr.

1            Vídeo-Aula 17

1.    Seja a função

f(x) = x² lnx, x ∈ (0,+∞)

Encontre os pontos críticos e classifique-os. Encontre também os intervalos de crescimento e decrescimento. Use somente a primeira derivada.

2.    Encontre os pontos de máximo e mínimo da função

com x ∈ (0,1].

3.    Se a e b são números positivos, encontre o valor máximo de

.

2            Video-Aula 18

1.    Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função

no intervalo [0,2].

2.    Analise a função

f(x) = sinx + cosx, 0 ≤ x ≤ 2π.

Encontre os pontos críticos e classifique-os. Encontre também os intervalos de crescimento, decrescimento e concavidade. Faça um esbôço do gráfico de f.

3.    Esboce o gráfico de uma função que satisfaz as seguintes condições:

(a)      f^′(x) > 0, ∀x = 1̸

(b)      tem uma assíntota vertical em x = 1

(c) f′′(x) > 0,	se x < 1 ou x > 3
(d) f′′(x) < 0,	se 1 < x < 3.

3            Video-aula 19

1.    Seja a funçãof(x) = xe^x.

(a)      Encontre a Série de Taylor em torno do ponto x = 0 (usualmente denominada Série de MacLaurin).

(b)      Encontre a Série de Taylor em torno do ponto x = 1.

2.    Considere a função f(x) = xe^x do Exercício 1.

(a)      calcule a integral

(b)      Mostre que, substituindo f(x) pelo Polinômio de Taylor T₃(x), temos uma aproximação da integral com erro menor que 5%.

3.    Seja a função

.

(a)      Calcule as proximações T₂(x) da Série de MacLaurin de

                                                              g(x) = √1 − x      e   

Obs: Denote-as, respectivamente, T₂[g](x) e T₂[h](x).

(b)      Use o resultado de (a) para calcular uma aproximação de MacLaurin de T₄[f](x).

Obs: Escrevemos a palavra ”uma” porque, se você observar bem, vai perceber que faltam, nesta aproximação, alguns termos de potência x⁴. O método usado neste exercício calcula a ”aproximação de uma aproximação”.

(c)      Calcule o êrro .

4            Video-aula 20

1.    Calcule a área compreendida entre o gráfico da função f(x) = x e o eixo-x, no intervalo [0,1], usando a definição de integral por Somas de Riemann.

2.    Considere a integral

1

I = ∫ √xdx

(a)      calcule o valor exato da integral.

(b)      Calcule a Soma de Riemann inferior s₅ ( 5 têrmos), usando uma partição homogênea do intervalo [0,1].

(c)      Calcule o êrro absoluto E = |I −s₅| da aproximação, com 3 casas decimais.

3.    Considere a integral

I = ∫ lnxdx

(a)      Calcule o valor exato da integral

(b)      Calcule a Soma de Riemann superior S₅ (5 têrmos), usando uma partição homogênea do intervalo [1,2].

(c)      Calcule o erro absoluto E = |I −S₅| da aproximação, com 3 casas decimais.

4.                      videoaula 17

5.                      Exercício 1

6.                      Seja a função f(x)=x2lnx,x∈(0,+∞). Encontre os pontos críticos e classifique-os. Encontre também os intervalos de crescimento e decrescimento. Use somente a primeira derivada.

7.                      Resp: Pontos críticos: um ponto c∈Dom(f) é crítico se f′(c)=0 ou ∄f′(c). Calculemos então f′(x):

8.                      f′(x)=2xlnx+x21x=2xlnx+x=x(2lnx+1)

9.                     
Logo, se f′(x)=0, então x=0 ou x=e−1/2. Como 0∉Dom(f), então o único ponto crítico é x=e−1/2≈0,606531. Para determinarmos se o ponto é de máximo ou mínimo, devemos analisar o que ocorre na vizinha do ponto crítico:

10.                  1-Se a derivada de f é positiva à esquerda de x=c e é negativa à direita de x=c, então x=c é um ponto de máximo para f.
2 – Se a derivada de f é negativa à esquerda de x=c e é positiva à direita de x=c, então x=c é um ponto de mínimo para f.

11.                  Se tomardos os pontos x=0,5 e x=0,7 teremos: f′(0,5)≈−0,19315 e f′(0,7)≈0,200655, logo ocorre o caso número 2 e x=e−1/2 é ponto de mínimo.

12.                  Sabendo que o único ponto crítico é x=e−1/2 e sabendo, também, o comportamento da derivada à esquerda e à direita do ponto crítico, podemos afirmar que o intervalo os intervalos de decrescimento e crescimento são:

13.                  1 – crescimento: f′(x)>0⇒x>e−1/2
2 – decrescimento: f′(x)<0⇒0<x<e−1/2

14.                  Videoaula 18

15.                  Exercício 1

16.                  Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x)=xx2+1 no intervalo [0,2].
Resp: É possível observar que f é contínua ∀x∈[0,2], pois o denominador x2+1 é sempre diferente de 0. Assim, os ponto de máximo e mínimo absolutos podem coincidir com os pontos de máximo e mínimo locais (pontos críticos) ou então coincidir com os valores de f nos extremos do intervalo. Assim, calculando os valores de f(0) e f(2), temos:

17.                  f(0)=002+1=0 e f(2)=222+1=25

18.                 
Para os pontos críticos temos:

19.                  f′(x)=1⋅(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2=1−x2(x2+1)2, se f′(x)=0⇒1−x2=0⇒x=1, pois x=−1∉Dom(f)

20.                 
Calculando os valores de f no ponto crítico temos: f(1)=1/2.
Portanto, temos os seguintes valores: f(0)=0, f(1)=1/2 e f(2)=2/5, logo os pontos de máximo e mínimo absolutos são, respectivamente, x=1 e x=0

21.                  Videoaula 19

22.                  Exercício 1

23.                  Seja a função f(x)=xex.
a. Encontre a Série de Taylor em torno do ponto x=0 (usualmente denominada Série de MacLaurin)
Resp: A Série de Taylor é uma expansão da forma:

24.                  f(x)=f(a)(x−a)0+f′(a)(x−a)11!+f”(a)(x−a)22!+…+f(n)(a)(x−a)nn!.

25.                 
Calculemos então as derivadas de f:
f′(x)=ex+xex=ex(1+x)⇒f′(0)=1
f”(x)=exex+xex=ex(2+x)⇒f”(0)=2
f(3)(x)=ex+ex+ex+xex=ex(3+x)⇒f(3)(0)=3
Assim, f(n)(x)=ex(n+x)⇒f′(n)(0)=n. Portanto,

26.                  xex=0+1⋅x11!+2⋅x22!+3⋅x33!+⋯+n⋅xnn!=x(1+x1!+x22!+⋯+xn−1(n−1)!)⇒xex=x∑i=0∞xii!

27.                  b. Encontre a Série de Taylor em torno do ponto x=1
Resp: f(1)=e, f′(1)=2e, …, f(n)(1)=(n+1)e. Portanto,

28.                  xex=e+2e(x−1)11!+3e(x−1)22!+⋯+(n+1)e(x−1)nn!⇒xex=e∑i=0∞(i+1)⋅(x−1)ii!

29.                  Videoaula 20

30.                  Exercício 1

31.                  Calcule a área compreendida entre o gráfico da função f(x)=x e o eixo-x, no intervalo [0,1], usando a definição de integral por Somas de Riemann.
Resp: Sabemos que a Soma de Riemann é dada por: S=∑i=0n−1[xi+1−xi]f(ai), onde [xi+1−xi] é uma partição uniforme de tamanho Δx=b−an, sendo ai∈[xi,xi+1]. Tomemos subintervalos de tamanho t=1n, assim xi=i⋅1n. Temos,

32.                  S=∑i=0n−1f(xi)⋅Δx=∑i=0n−1f(in)⋅1n=∑i=0n−1in⋅1n⇒S=1n2∑i=0n−1i=1n2⋅(0+1+2+3+⋯+n−1)=1n2⋅n(n−1)2

33.                 
Portanto,

34.                  S=limn→∞1n2⋅n(n−1)2=12⋅limn→∞1−1n=12