Problemas e
Exercícios da Semana 5
Samuel
Rocha Oliveira e Adolfo Maia Jr.
1
Vídeo-Aula 17
1. Seja
a função
f(x) = x2
lnx,
x ∈ (0,+∞)
Encontre os pontos críticos e classifique-os. Encontre
também os intervalos de crescimento e decrescimento. Use somente a primeira
derivada.
2.
Encontre os pontos de máximo e mínimo da função
com x ∈ (0,1].
3. Se
a e b são
números positivos, encontre o valor máximo de
.
2
Video-Aula 18
1.
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da
função
no intervalo [0,2].
2. Analise
a função
f(x) = sinx + cosx, 0 ≤ x
≤ 2π.
Encontre os pontos críticos e
classifique-os. Encontre também os intervalos de crescimento, decrescimento e
concavidade. Faça um esbôço do gráfico de f.
3. Esboce
o gráfico de uma função que satisfaz as seguintes condições:
(a) f′(x)
> 0, ∀x = 1̸
(b) tem
uma assíntota vertical em x = 1
(c) f′′(x) > 0,
|
se x < 1
ou x
> 3
|
(d) f′′(x) <
0,
|
se 1 < x
< 3.
|
3
Video-aula 19
1. Seja
a funçãof(x) = xex.
(a) Encontre
a Série de Taylor em torno do ponto x = 0 (usualmente denominada Série
de MacLaurin).
(b) Encontre
a Série de Taylor em torno do ponto x = 1.
2. Considere
a função f(x) = xex do Exercício 1.
(a)
calcule a integral
(b) Mostre
que, substituindo f(x) pelo Polinômio de
Taylor T3(x),
temos uma aproximação da integral com erro menor que 5%.
3. Seja
a função
.
(a) Calcule
as proximações T2(x)
da Série de MacLaurin de
g(x) = √1 − x e
Obs: Denote-as,
respectivamente, T2[g](x) e T2[h](x).
(b) Use
o resultado de (a) para calcular uma aproximação de MacLaurin de T4[f](x).
Obs: Escrevemos a palavra ”uma”
porque, se você observar bem, vai perceber que faltam, nesta aproximação,
alguns termos de potência x4. O método usado neste
exercício calcula a ”aproximação de uma aproximação”.
(c)
Calcule o êrro
.
4
Video-aula 20
1. Calcule
a área compreendida entre o gráfico da função f(x) = x
e o eixo-x, no intervalo [0,1], usando a definição de
integral por Somas de Riemann.
2.
Considere a integral
1
I = ∫ √xdx
(a) calcule
o valor exato da integral.
(b) Calcule
a Soma de Riemann inferior s5 ( 5 têrmos), usando uma
partição homogênea do intervalo [0,1].
(c) Calcule
o êrro absoluto E
= |I
−s5| da
aproximação, com 3 casas decimais.
3.
Considere a integral
I = ∫ lnxdx
(a) Calcule
o valor exato da integral
(b) Calcule
a Soma de Riemann superior S5 (5 têrmos), usando uma
partição homogênea do intervalo [1,2].
(c) Calcule
o erro absoluto E
= |I
−S5| da
aproximação, com 3 casas decimais.
4.
videoaula 17
5.
Exercício
1
6.
Seja a função f(x)=x2lnx,x∈(0,+∞).
Encontre os pontos críticos e classifique-os. Encontre também os intervalos de
crescimento e decrescimento. Use somente a primeira derivada.
7.
Resp: Pontos
críticos: um ponto c∈Dom(f) é
crítico se f′(c)=0 ou ∄f′(c).
Calculemos então f′(x):
8.
f′(x)=2xlnx+x21x=2xlnx+x=x(2lnx+1)
9.
Logo, se f′(x)=0,
então x=0 ou x=e−1/2. Como 0∉Dom(f), então o único ponto
crítico é x=e−1/2≈0,606531.
Para determinarmos se o ponto é de máximo ou mínimo, devemos analisar o que
ocorre na vizinha do ponto crítico:
10.
1-Se a derivada de f é positiva à esquerda de x=c e é negativa à direita de x=c, então x=c é um ponto de máximo
para f.
2 – Se a derivada de f é
negativa à esquerda de x=c e é positiva à
direita de x=c, então x=c é um ponto de mínimo
para f.
11.
Se tomardos os pontos x=0,5 e x=0,7 teremos: f′(0,5)≈−0,19315 e f′(0,7)≈0,200655,
logo ocorre o caso número 2 e x=e−1/2 é
ponto de mínimo.
12.
Sabendo que o único ponto crítico
é x=e−1/2 e sabendo, também, o comportamento da
derivada à esquerda e à direita do ponto crítico, podemos afirmar que o
intervalo os intervalos de decrescimento e crescimento são:
13.
1 – crescimento: f′(x)>0⇒x>e−1/2
2 – decrescimento: f′(x)<0⇒0<x<e−1/2
14.
Videoaula
18
15.
Exercício
1
16.
Encontre os valores máximo e
mínimo absolutos da função f(x)=xx2+1 no
intervalo [0,2].
Resp: É
possível observar que f é
contínua ∀x∈[0,2],
pois o denominador x2+1 é sempre diferente de 0. Assim, os ponto de máximo e
mínimo absolutos podem coincidir com os pontos de máximo e mínimo locais
(pontos críticos) ou então coincidir com os valores de f nos extremos do intervalo. Assim, calculando os valores de f(0) e f(2),
temos:
17.
f(0)=002+1=0 e f(2)=222+1=25
18.
Para os pontos críticos temos:
19.
f′(x)=1⋅(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2=1−x2(x2+1)2, se f′(x)=0⇒1−x2=0⇒x=1, pois x=−1∉Dom(f)
20.
Calculando os valores de f no ponto crítico temos: f(1)=1/2.
Portanto, temos os seguintes valores: f(0)=0, f(1)=1/2 e f(2)=2/5, logo os pontos de máximo e
mínimo absolutos são, respectivamente, x=1 e x=0
21.
Videoaula
19
22.
Exercício
1
23.
Seja a função f(x)=xex.
a. Encontre a Série de Taylor em torno do ponto x=0 (usualmente
denominada Série de MacLaurin)
Resp: A
Série de Taylor é uma expansão da forma:
24.
f(x)=f(a)(x−a)0+f′(a)(x−a)11!+f”(a)(x−a)22!+…+f(n)(a)(x−a)nn!.
25.
Calculemos então as derivadas de f:
f′(x)=ex+xex=ex(1+x)⇒f′(0)=1
f”(x)=exex+xex=ex(2+x)⇒f”(0)=2
f(3)(x)=ex+ex+ex+xex=ex(3+x)⇒f(3)(0)=3
Assim, f(n)(x)=ex(n+x)⇒f′(n)(0)=n. Portanto,
26.
xex=0+1⋅x11!+2⋅x22!+3⋅x33!+⋯+n⋅xnn!=x(1+x1!+x22!+⋯+xn−1(n−1)!)⇒xex=x∑i=0∞xii!
27.
b. Encontre a Série de Taylor em
torno do ponto x=1
Resp: f(1)=e, f′(1)=2e, …, f(n)(1)=(n+1)e.
Portanto,
28.
xex=e+2e(x−1)11!+3e(x−1)22!+⋯+(n+1)e(x−1)nn!⇒xex=e∑i=0∞(i+1)⋅(x−1)ii!
29.
Videoaula
20
30.
Exercício
1
31.
Calcule a área compreendida entre
o gráfico da função f(x)=x e o eixo-x, no intervalo [0,1], usando a definição de integral por Somas de
Riemann.
Resp: Sabemos
que a Soma de Riemann é dada por: S=∑i=0n−1[xi+1−xi]f(ai),
onde [xi+1−xi] é uma partição
uniforme de tamanho Δx=b−an, sendo ai∈[xi,xi+1]. Tomemos subintervalos de tamanho t=1n, assim xi=i⋅1n. Temos,
32.
S=∑i=0n−1f(xi)⋅Δx=∑i=0n−1f(in)⋅1n=∑i=0n−1in⋅1n⇒S=1n2∑i=0n−1i=1n2⋅(0+1+2+3+⋯+n−1)=1n2⋅n(n−1)2
33.
Portanto,
34.
S=limn→∞1n2⋅n(n−1)2=12⋅limn→∞1−1n=12
