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domingo, 30 de novembro de 2014

AULA 17, 18, 19 E 20 - PORTFÓLIO CALCULO 1 SEMANA 05


Problemas e Exercícios da Semana 5
Samuel Rocha Oliveira e Adolfo Maia Jr.

1            Vídeo-Aula 17

1.    Seja a função
f(x) = x2 lnx, x ∈ (0,+∞)
Encontre os pontos críticos e classifique-os. Encontre também os intervalos de crescimento e decrescimento. Use somente a primeira derivada.
2.    Encontre os pontos de máximo e mínimo da função

com x ∈ (0,1].
3.    Se a e b são números positivos, encontre o valor máximo de
.

2            Video-Aula 18

1.    Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função
no intervalo [0,2].
2.    Analise a função
f(x) = sinx + cosx, 0 ≤ x ≤ 2π.
Encontre os pontos críticos e classifique-os. Encontre também os intervalos de crescimento, decrescimento e concavidade. Faça um esbôço do gráfico de f.
3.    Esboce o gráfico de uma função que satisfaz as seguintes condições:
(a)      f(x) > 0, x = 1̸
(b)      tem uma assíntota vertical em x = 1
(c) f′′(x) > 0,
se x < 1 ou x > 3
(d) f′′(x) < 0,
se 1 < x < 3.

3            Video-aula 19

1.    Seja a funçãof(x) = xex.
(a)      Encontre a Série de Taylor em torno do ponto x = 0 (usualmente denominada Série de MacLaurin).
(b)      Encontre a Série de Taylor em torno do ponto x = 1.
2.    Considere a função f(x) = xex do Exercício 1.
(a)      calcule a integral
(b)      Mostre que, substituindo f(x) pelo Polinômio de Taylor T3(x), temos uma aproximação da integral com erro menor que 5%.
3.    Seja a função
.
(a)      Calcule as proximações T2(x) da Série de MacLaurin de
                                                              g(x) = √1 − x      e   
Obs: Denote-as, respectivamente, T2[g](x) e T2[h](x).
(b)      Use o resultado de (a) para calcular uma aproximação de MacLaurin de T4[f](x).
Obs: Escrevemos a palavra ”uma” porque, se você observar bem, vai perceber que faltam, nesta aproximação, alguns termos de potência x4. O método usado neste exercício calcula a ”aproximação de uma aproximação”.
(c)      Calcule o êrro .

4            Video-aula 20

1.    Calcule a área compreendida entre o gráfico da função f(x) = x e o eixo-x, no intervalo [0,1], usando a definição de integral por Somas de Riemann.
2.    Considere a integral
1
I = ∫ √xdx

(a)      calcule o valor exato da integral.
(b)      Calcule a Soma de Riemann inferior s5 ( 5 têrmos), usando uma partição homogênea do intervalo [0,1].
(c)      Calcule o êrro absoluto E = |I s5| da aproximação, com 3 casas decimais.
3.    Considere a integral

I = ∫ lnxdx

(a)      Calcule o valor exato da integral
(b)      Calcule a Soma de Riemann superior S5 (5 têrmos), usando uma partição homogênea do intervalo [1,2].
(c)      Calcule o erro absoluto E = |I S5| da aproximação, com 3 casas decimais.
4.                      videoaula 17
5.                      Exercício 1
6.                      Seja a função f(x)=x2lnx,x(0,+∞). Encontre os pontos críticos e classifique-os. Encontre também os intervalos de crescimento e decrescimento. Use somente a primeira derivada.
7.                      Resp: Pontos críticos: um ponto cDom(f) é crítico se f(c)=0 ou ̸f(c). Calculemos então f(x):

8.                      f(x)=2xlnx+x21x=2xlnx+x=x(2lnx+1)
9.                     
Logo, se 
f(x)=0, então x=0 ou x=e−1/2. Como 0Dom(f), então o único ponto crítico é x=e−1/2≈0,606531. Para determinarmos se o ponto é de máximo ou mínimo, devemos analisar o que ocorre na vizinha do ponto crítico:
10.                  1-Se a derivada de f é positiva à esquerda de x=c e é negativa à direita de x=c, então x=c é um ponto de máximo para f.
2 – Se a derivada de 
f é negativa à esquerda de x=c e é positiva à direita de x=c, então x=c é um ponto de mínimo para f.
11.                  Se tomardos os pontos x=0,5 e x=0,7 teremos: f(0,5)≈−0,19315 e f(0,7)≈0,200655, logo ocorre o caso número 2 e x=e−1/2 é ponto de mínimo.
12.                  Sabendo que o único ponto crítico é x=e−1/2 e sabendo, também, o comportamento da derivada à esquerda e à direita do ponto crítico, podemos afirmar que o intervalo os intervalos de decrescimento e crescimento são:
13.                  1 – crescimento: f(x)>0x>e−1/2
2 – decrescimento: 
f(x)<00<x<e−1/2
14.                  Videoaula 18
15.                  Exercício 1
16.                  Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x)=xx2+1 no intervalo [0,2].
Resp: É possível observar que f é contínua x[0,2], pois o denominador x2+1 é sempre diferente de 0. Assim, os ponto de máximo e mínimo absolutos podem coincidir com os pontos de máximo e mínimo locais (pontos críticos) ou então coincidir com os valores de f nos extremos do intervalo. Assim, calculando os valores de f(0) e f(2), temos:

17.                  f(0)=002+1=0 e f(2)=222+1=25
18.                 
Para os pontos críticos temos:

19.                  f(x)=1(x2+1)−x2x(x2+1)2=1−x2(x2+1)2, se f(x)=01−x2=0x=1, pois x=−1Dom(f)
20.                 
Calculando os valores de 
f no ponto crítico temos: f(1)=1/2.
Portanto, temos os seguintes valores: 
f(0)=0f(1)=1/2 e f(2)=2/5, logo os pontos de máximo e mínimo absolutos são, respectivamente, x=1 e x=0
21.                  Videoaula 19
22.                  Exercício 1
23.                  Seja a função f(x)=xex.
a. Encontre a Série de Taylor em torno do ponto 
x=0 (usualmente denominada Série de MacLaurin)
Resp: A Série de Taylor é uma expansão da forma:

24.                  f(x)=f(a)(xa)0+f(a)(xa)11!+f”(a)(xa)22!+…+f(n)(a)(xa)nn!.
25.                 
Calculemos então as derivadas de 
f:
f(x)=ex+xex=ex(1+x)f(0)=1
f”(x)=exex+xex=ex(2+x)f”(0)=2
f(3)(x)=ex+ex+ex+xex=ex(3+x)f(3)(0)=3
Assim, 
f(n)(x)=ex(n+x)f′(n)(0)=n. Portanto,

26.                  xex=0+1x11!+2x22!+3x33!++nxnn!=x(1+x1!+x22!++xn−1(n−1)!)xex=xi=0∞xii!
27.                  b. Encontre a Série de Taylor em torno do ponto x=1
Resp: f(1)=ef(1)=2e, …, f(n)(1)=(n+1)e. Portanto,

28.                  xex=e+2e(x−1)11!+3e(x−1)22!++(n+1)e(x−1)nn!xex=ei=0∞(i+1)(x−1)ii!
29.                  Videoaula 20
30.                  Exercício 1
31.                  Calcule a área compreendida entre o gráfico da função f(x)=x e o eixo-x, no intervalo [0,1], usando a definição de integral por Somas de Riemann.
Resp: Sabemos que a Soma de Riemann é dada por: S=i=0n−1[xi+1xi]f(ai), onde [xi+1xi] é uma partição uniforme de tamanho Δx=ban, sendo ai[xi,xi+1]. Tomemos subintervalos de tamanho t=1n, assim xi=i1n. Temos,

32.                  S=i=0n−1f(xi)Δx=i=0n−1f(in)1n=i=0n−1in1nS=1n2i=0n−1i=1n2(0+1+2+3++n−1)=1n2n(n−1)2
33.                 
Portanto,

34.                  S=limn→∞1n2n(n−1)2=12limn→∞1−1n=12

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